CPP_Class Summation of Matrix ( A+B )

//Code:
//==============================================

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#define max 10
using namespace std;

class Matrix
    {   private:
                int r,c,i,j,MA[max][max],MB[max][max],MC[max][max];
        public:
                void InputDimention (void)
                {   cout<<"Summation of Matrix\nInput your Matrix's Demintion\n";
                    cout<<"Number of row    : ";cin>>r;
                    cout<<"Number of column : ";cin>>c;
                    cout<<"\n->The Dimention of Matrix is ("<<r<<"x"<<c<<")\n";
                }
                void InputMatrix(void)
                {   char NameMatrix;
                    cout<<"\nSelect Matrix A or B : ";
                    cin>>NameMatrix;
                    cout<<endl;
                    if (( NameMatrix =='A')||(NameMatrix=='a'))
                        {for (i=1;i<=r;i++)
                            for(j=1;j<=c;j++)
                                {   cout<<"A["<<i<<"]["<<j<<"] : ";
                                    cin>>MA[i][j];
                                }
                         cout<<"Matrix "<<NameMatrix<<" is :\n";
                         for (i=1;i<=r;i++)
                            {   cout<<"|\t";
                                for(j=1;j<=c;j++)
                                {  cout<<MA[i][j]<<"\t";  }
                                cout<<"|\n\n";
                            }
                        }
                    else
                        {for (i=1;i<=r;i++)
                            for(j=1;j<=c;j++)
                                {   cout<<"B["<<i<<"]["<<j<<"] : ";
                                    cin>>MB[i][j];
                                }
                         cout<<"Matrix "<<NameMatrix<<" is :\n";
                         for (i=1;i<=r;i++)
                            {   cout<<"|\t";
                                for(j=1;j<=c;j++)
                                {  cout<<MB[i][j]<<"\t";  }
                                cout<<"|\n\n";
                            }
                        }

                }
                void OutputSumMatrix(void)
                {   cout<<"-----Summation of Matrix A & B :----- \n\n";
                    for (i=1;i<=r;i++)
                            {   cout<<"|\t";
                                for(j=1;j<=c;j++)
                                {
                                    MC[i][j]=MA[i][j]+MB[i][j];
                                    cout<<MC[i][j]<<"\t";
                                }
                                cout<<"|\n\n";
                            }
                }


    };
int main()
{   Matrix Obj;
    Obj.InputDimention();
    Obj.InputMatrix();
    Obj.InputMatrix();
    Obj.OutputSumMatrix();
    return 0;
}

MathCom_Number Theory-Summeries

The Integers and Division :
     a,b belong to Z {a!=0}
     a|b  ==>  b=a×k  , k is integer
     a : factor / divisor
     b : multiple        
  Ex: 77|7    False {7=77×?}
        7|77    True {77=7*10}
        0|24    Flase {24=0×?}
        24|0    True {0=24×0}
      *Theorem : All a,b,c belong to Z
        1.a != 0  ==> a|0  and a|a
        2.(a|b and a|c) ==> a|(b+c)
        3.a|b ==> a|bc
        4.(a|b and b|c) ==> a|c
        5.[a|(b+c) and a|b] ==> a|c
Prime Number {จำนวนเฉพาะ}{ចំនួនបឋម}
     Prime is p , p > 1
     Prime is the number that has only 1 & itself as divisor / factor
     Beside of Prime number are Composite number {จำนวนประกอบ}
     Prime Factorization : is making the positive integers to equal the multiply by some Prime numbers
           Ex: 100 = 2×2×5×5=2²×5²
    Alogrithm of PrimeNumber:
    --------------------------------------------------------------------------
    boolean isPrime(integer n)
         if ( n < 2 ) return false
         for ( i = 2 to n-1 )
              if ( i|n )  {if n divide by i no left remainder}
                     return false
         return true
    --------------------------------------------------------------------------
The Division
        Theorem :
               (a-r)/d = q
               a = d×q+r   and 0 <= r <= |d|
               a : dividend / ตัวตัง /​​ តំណាងចែក
               d : divisor {d != 0} / ตัวหาร​/  តួចែក
               q : quotient / ผลหาร​ / ផលចែក
               r : remainder / เศษ​​ / សំណល់
Greatest Common Divisor { gcd(x,y) } ตัวหารรวมมาก តួចែករួមធំបំផុត
         gcd(a,b) = d = max(d: d|a and d|b) <=> d|a and d|b and All e belong to Z ,(e|a and e|b) ==> d >= e
         gcd(a,b) = {min of multiply of prime numbers of a & b}
                     Ex : gcd(20,15) = ?
                           20 = 2×2×5 = 2²   × 3^0 × 5
                           15 = 3×5     = 2^0 × 3    × 5
                           gcd(20,15) = 2^0 × 3^0× 5 = 5 #

MathCom_Algorithms_Exercise with Answer

แบบฝึกหัด

Algorithms

1. จงสร้าง algorithm เพื่อหาผลบวกของเลขจำนวนเต็มทุกตัวในรายการ(List)

-----------------------------------------------------------------

procedure Summation List(A1,A2,A3,.......,An : integers)

             sum := A1 {set sum equal the value of first element}

             for  i := 2 to n

                   sum := sum+Ai    {sum is the summation of all elements}

             return sum   {copy value of sum to function above}

-----------------------------------------------------------------

2.จงเขียน algorithm เพื่อเปลี่ยนค่าตัวแปร x และ y โดยใช้การกำหนดค่า (assignments) เพียงอย่างเดียว และตอบว่าต้องใช้การ

กำหนดค่ากี่ครั้ง

-----------------------------------------------------------------

procedure exchange value (x,y : integers)

             A := x     { 1times }

             x := y      { 1times }

             y := A     { 1times }

-----------------------------------------------------------------

     Answer : Time Complexity is 3 times

-----------------------------------------------------------------

3.จงเขียน algorithm เพื่อหาตำแหน่งของตัวเลขที่มีค่ามากที่สุดตัวเลขแรกในลิสต์ของจำนวนเต็ม โดยเลขจำนวนเต็มในลิสต์อาจซ้ำกันได้

-----------------------------------------------------------------

procedure location of max(A1,A2,A3,......,An : integers)

     max := A1 {set max equal the first element}

     for   i := 2  to  n   {do loop location of element from 2 to n}

           if   Ai > A1   then  max := Ai {consider to the value of max} 

     location := i   {copy location of max element}

     return location 

-----------------------------------------------------------------

4.จงเขียน algorithm ที่จะนับจำนวนเลข 1 ในบิตสตริงโดยพิจารณาแต่ละบิตของสตริงเพื่อตรวจสอบว่าเป็นเลข 1 หรือไม่       

-----------------------------------------------------------------

procedure Number of 1digit(A0,A1,A2,.....,An-1:character)
     {string array of An-1 = \o is NULL so we didn't count it}
     count := 0
     for i := 0 to n-2
           if Ai := 1 then count := count + 1 {add to count 1 if Ai = 1}
     return count

-----------------------------------------------------------------

5.จงแสดงว่าฟังก์ชั่นที่กำหนดให้ ข้อใดเป็น O(x²)

    a.f(x)=17x+11

-----------------------------------------------------------------

method of Big-O : |f(x)|<=c×|g(x)| ; x>=k

17x+11 <= c×x²  ;  x>=k

17x+11 <= 17x²+11x²   when x >=1

17x+11 <= 28x²  when  x >=1

=> c = 28 , k = 1

So : f(x) = 17x+11เป็น O(x²) #

-----------------------------------------------------------------

   b.f(x)= x²+1000

-----------------------------------------------------------------

method of Big-O : |f(x)|<=c×|g(x)| ; x>=k

x²+1000 <= c×x² when x >= k

x²+1000 <= x²+1000x² when x >= 1

x²+1000 <= 1001x² when x >= 1

=> c = 1001 , k = 1

So : f(x) = x²+1000เป็น O(x²) #

-----------------------------------------------------------------

   c.f(x)=x⁴/2

-----------------------------------------------------------------

we knew that f(x) is not big-o of x² so we use converse proof by 

proof x²=O(f(x)) if true mean that f(x) != O(x²) :

method of Big-O :

 x² <= c×x⁴/2 when x >= k

 x² <= 2×x⁴/2 when x >= 1

=> c = 2 , k = 1

So : f(x) = x⁴/2ไม่เป็น O(x²) #

-----------------------------------------------------------------

6.จงแสดงว่า 10n+8 เป็น O(n)

-----------------------------------------------------------------

method of Big-O :

10n+8 <= c×n when x >= k

10n+8 <= 10n+8n when x >= 1

10n+8 <= 18n when x >= 1

=> c = 18 , k = 1

So : 10n+8 เป็น O(n) #

-----------------------------------------------------------------

7.จงแสดงว่า n²+1 เป็น O(n²)

-----------------------------------------------------------------

method of Big-O :

n²+1 <= c×n² when x >= k

n²+1 <= n²+n² when x >= 1

n²+1 <= 2n² when x >= 1

=> c = 2 , k = 1

So : n²+1 เป็น O(n²) #

-----------------------------------------------------------------

8.จงแสดงว่า f(n) = n² + 2n + 1 เป็น O(n²)

-----------------------------------------------------------------

method of Big-O :

n²+2n+1 <= c×n² when x >= k

n²+2n+1 <= n²+2n²+n² when x >= 1

n²+2n+1 <= 4n² when x >= 1

=> c = 4 , k = 1

So : n²+2n+1 เป็น O(n²) #

-----------------------------------------------------------------

9.จงแสดงว่า f(n) = 4n³+2n²+n+5 คือ O(n³)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

-----------------------------------------------------------------

method of Big-O :

4n³+2n²+n+5 <= c×n³ when x >= k

4n³+2n²+n+5 <= 4n³+2n³+n³+5n³ when x >= 1

4n³+2n²+n+5 <= 12n³ when x >= 1

=> c = 12 , k = 1

So : 4n³+2n²+n+5 เป็น O(n³) #

-----------------------------------------------------------------

MathCom_Algorithm_CrowthOfFunction-Summeries

Big-O notation : 

f(n) = O[g(n)] { f(n) เป็น Big-O ของ g(n) }

|f(n)| <= c×|g(n)| เมื่อ n >=k

ถ้า f(n) เป็นบวกทุก n

นั้นสามารถเขียน f(n) <= c×g(n) เมื่อ n >=k

Ex: f(n)=An³+Bn²+Cn+D = O(n³) ?

An³+Bn²+Cn+D <= c×n³ เมื่อ n >=k

An³+Bn²+Cn+D <= An³+Bn³+Cn³+Dn³ เมื่อ n >= 1 

An³+Bn²+Cn+D <= (A+B+C+D)n³ เมื่อ n >= 1

==> c = (A+B+C+D) ; k = 1

So : f(n) = O(n³)

Note : A(n^z)+........ = O(n^m) <=> m >= z 

{หมายความว่า ถ้า A(n^z)+........Big-O ของ n^m ต่อเมื่่อ m >= z   }

Comparision of Big-O {การเปลียบเทียบของBig-O}

{ O(1) <= O(log n) <= O(n) <= O(n×log n) <= O(n²) <= O(n^k) <= O(2^n) }

Summation , Multiply of Function with Big-O {การคูณและบวก}

f1(n) = O(g1(n)) and f2(n) = O(g2(n)) ==> f1(n)+f2(n) = O(max{g1(n),g2(n)}) 

f1(n) = O(g1(n)) and f2(n) = O(g2(n)) ==> f1(n)×f2(n) = O({g1(n)×g2(n)}) 

MathCom_Sequences-Summeries

MathCom_Function-Summeries

MathCom_Sequencse_Example with Answer

แบบฝึกหัด

Sequence, Summation และ Mathematical Induction

1. จงเขียนสูตรของชุดลำดับเลขจำนวนเต็มต่อไปนี้
1. 15,8,1,-6,-13,-20,-27,...     d=-7 ; a=15 => An=15-(n-1)7 , n>=1
2. 2,16,54,128,250,432,686,...  An=2n³ , n>=1
3. 3,6,12,24,48,96,192,...  r = 2 ; a = 3 => An=ar^(n-1) , n>=1
4. 3,6,11,18,27,38,51,66,83,102,...  An=3+(n²-1) , n>=1
2. จงหาสูตรของชุดลำดับเลขจำนวนเต็มต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาผลรวมของชุดลำดับจากสูตรที่หาได้
1. 4,12,36,108,324,972 a = 4 , r = 3 ; An=4×3^(n-1) ;S{i=1 to 6}Ai = 4(3^6-1)/(3-1)
2. 399,391,383,375,367,359,351,343 d=-8 ; a = 399 ; An=399-8(n-1) ; S{i=1 to 8}Ai = 8(2×399-8(8+1))/2
3. จงหาค่าต่อไปนี้

4.จงพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์(Mathematical Induction)

a)  จงพิสูจน์ว่า  1+ 2 + 3 +…+ n  = n ( n + 1)/2  สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

b)  จงแสดงว่า  3 + 3.5 + 3.5² + … + 3.5ⁿ  = 3(5 ^{n + 1} - 1)/4  เมื่อ n เป็น nonnegative number

c)  จงแสดงว่า  1² + 2² + 3² +…+n²  =  n(n +1)(2n + 1)/6 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

d)  จงแสดงว่า  1.1! + 2.2! + 3.3! + … + n.n!  =  (n + 1)! - 1 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

e)  จงแสดงว่า  2ⁿ < n!  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่มากกว่า 4

f)  จงแสดงว่า  n! < nⁿ  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่มากกว่า  1

g)  จงแสดงว่า  1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n+1)  =   n(n+1)(n + 2) / 3  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

h)  จงพิสูจน์ว่า  7  ê(2³ⁿ-1) สำหรับ n ทุกตัวที่เป็นจำนวนเต็ม

i)  จงพิสูจน์ว่า 2+2²+2³+ … +2ⁿ = 2ⁿ⁺¹- 2  สำหรับทุกจำนวนเต็ม n³1

    

MathCom_Function_Example with Answer

แบบฝึกหัด

ฟังก์ชัน(Function)

1. จงพิจารณาว่าเซตใดต่อไปนี้เป็นฟังก์ชัน เมื่อกำหนดให้โดเมนและโคโดเมนของทุกเซตเป็นจำนวนจริง

a.              {(x,y)| y = x+3} 

b.             {(x,y)| y = x²+3x-2}

c.              {(x,y)| x = 7}

d.             {(x,y)| x = y+1}

Answer :

2. ให้ X = {1,2,3,4} จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้ข้อใดเป็นฟังก์ชันจาก X ไป X

a.              f = {(2,3),(1,4),(2,1),(3,2),(4,4)} ไม่ใช่ฟังก์ชัน เพราะ (2,3),(2,1) มี pre-image ตัวเดียวกัน

b.             g = {(3,1),(4,2),(1,1)} ไม่ใช่ฟังก์ชัน เพราะ pre-image {2​} ไม่ได้เลื่อกมาใช้เลย

c.              h = {(2,1),(3,4),(1,4),(2,1),(4,4)}  เป็นฟังก์ชัน

3. เมื่อกำหนดให้โดเมนและโคโดเมนของทุกเซตเป็นจำนวนจริง จงวาดกราฟของ

a.              f(x) = x² + x – 6

b.             g(x) = x³ – x +3

4. จงตรวจสอบว่าฟังก์ชัน จากเซต R ไป R ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันแบบ bijection หรือไม่พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบอย่างชัดเจน

a.              f(x) = 2x + 1

b.             f(x) = x² + 1

c.              f(x) = (x² + 1)/( x² + 2)

5. จงหา  fog และ gof  เมื่อ f(x) = x² + 1 และ g(x) = x + 2 เป็นฟังก์ชัน จากเซต Rไป R
6. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันจาก {a, b, c, d}ไปยังตัวมันเอง แบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ เพราะเหตุใด

a.              f(a) = b, f(b) = a, f(c) = c, f(d) = d

b.             f(a) = b, f(b) = b, f(c) = d, f(d) = c

c.              f(a) = d, f(b) = b, f(c) = c, f(d) = d

Answer

7. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ซึ่งเป็นฟังก์ชันจาก Z ไปยัง  Z  เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ เพราะเหตุใด

a.              f(x) =x-1

b.             f(x) = x²-1

c.              f(x) = x³

d.             f(x) =éx/2ù

Answer :

8. ให้ f: RàR ถูกนิยามโดย f(x) = 2x – 3, f เป็น one-to-one และ onto ดังนั้น f สามารถหาผกผันได้(Inverse function) จงหา f ^-1(x)
9. กำหนดให้ S = {-1, 0, 2, 4, 7} จงหา  f(S) ถ้า

a.              f(x) = 1

b.             f(x) = 2x+1

c.              f(x) = éx/5ù

d.             f(x) = ë(x²+1)/3û

10. ให้ฟังก์ชัน f และ g ถูกนิยามโดย f(x) = 2x + 1 และ g(x) = x² – 2 จงหา g○f
11. กำหนดให้ f(x) = x²+1 และ g(x) = x+2 เป็นฟังก์ชันจาก R ไปยัง  R จงหา

a.              f ○ g

b.             g ○ f

c.              f + g

d.             f ∙ g

12. ให้ f: AàB และ g: BàC ถูกนิยามดังรูป จงหา g○f:AàC

13. ให้ f:AàB, g:BàC และ h:CàD

a.              จงหาว่าแต่ละฟังก์ชันใดเป็น onto

b.             จงหา h○g○f

14. กำหนดให้ f(x) = √x และ g(x) = x+1 เป็นฟังก์ชันจาก R ไปยัง  R จงหา

a.              f(g(2))

Answer :

b.             g(f(4))

c.              g(g(1))

d.             g(f(f(16)))

15. จงหา

a.              ë 7.5 û ;  ë -7.5 û ;  ë -18 û

b.             é 7.5 ù ; é -7.5 ù ; é -18 ù

Answer :

16. จงวาดกราฟของฟังก์ชัน f(x) = éxù + ëx/2û ซึ่งเป็นฟังก์ชันจาก R ไปยัง  R