MathCom_Sequencse_Example with Answer

แบบฝึกหัด

Sequence, Summation และ Mathematical Induction

1. จงเขียนสูตรของชุดลำดับเลขจำนวนเต็มต่อไปนี้
1. 15,8,1,-6,-13,-20,-27,...     d=-7 ; a=15 => An=15-(n-1)7 , n>=1
2. 2,16,54,128,250,432,686,...  An=2n³ , n>=1
3. 3,6,12,24,48,96,192,...  r = 2 ; a = 3 => An=ar^(n-1) , n>=1
4. 3,6,11,18,27,38,51,66,83,102,...  An=3+(n²-1) , n>=1
2. จงหาสูตรของชุดลำดับเลขจำนวนเต็มต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาผลรวมของชุดลำดับจากสูตรที่หาได้
1. 4,12,36,108,324,972 a = 4 , r = 3 ; An=4×3^(n-1) ;S{i=1 to 6}Ai = 4(3^6-1)/(3-1)
2. 399,391,383,375,367,359,351,343 d=-8 ; a = 399 ; An=399-8(n-1) ; S{i=1 to 8}Ai = 8(2×399-8(8+1))/2
3. จงหาค่าต่อไปนี้

4.จงพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์(Mathematical Induction)

a)  จงพิสูจน์ว่า  1+ 2 + 3 +…+ n  = n ( n + 1)/2  สำหรับทุก ๆ จำนวนเต็มบวก n

b)  จงแสดงว่า  3 + 3.5 + 3.5² + … + 3.5ⁿ  = 3(5 ^{n + 1} - 1)/4  เมื่อ n เป็น nonnegative number

c)  จงแสดงว่า  1² + 2² + 3² +…+n²  =  n(n +1)(2n + 1)/6 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

d)  จงแสดงว่า  1.1! + 2.2! + 3.3! + … + n.n!  =  (n + 1)! - 1 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

e)  จงแสดงว่า  2ⁿ < n!  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่มากกว่า 4

f)  จงแสดงว่า  n! < nⁿ  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆที่มากกว่า  1

g)  จงแสดงว่า  1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n+1)  =   n(n+1)(n + 2) / 3  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

h)  จงพิสูจน์ว่า  7  ê(2³ⁿ-1) สำหรับ n ทุกตัวที่เป็นจำนวนเต็ม

i)  จงพิสูจน์ว่า 2+2²+2³+ … +2ⁿ = 2ⁿ⁺¹- 2  สำหรับทุกจำนวนเต็ม n³1